线性代数复习笔记(一)【行列式、矩阵】

目前是自己自学一点,更新一点!逐步更新,逐步完善!

线性代数的课时安排是1~12周,每周也就两节课,单独就其来看来说,课时还是比较少的。现在已经是第二周了,发现老师讲课的速度挺慢的。不过老师讲的比较细致,告诉每个定理,结论的来源。就这点来说我觉得还是比较好的,不然只是了解结论的话,那样对知识的掌握不会是很牢固的。之前记得wls说过线性代数是很重要的一门课,并且对于算法的学习也是很有帮助的,所以我准备自己先把这本教材给自学完先。也担忧自己会忘记啊,所以做下记录,将一下重要的知识点和方法记录下来。也为了结课后的考试,便于复习吧!

行列式

行列式求值

对角线法(只适用于二阶行列式和三阶行列式):

二阶行列式:主对角线的两元素之积减去副对角线两元素之积所得的差。

$$ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{matrix} \right| = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} $$

三阶行列式:平行于主对角线的连线,每条连线上三元素乘积冠正号;平行于副对角线的连线,每条连线的三元素乘积冠负号;然后相加即可

$$ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{matrix} \right| = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{31}a_{22}a_{33} $$

​ n阶行列式的算法,需借助行列式的性质去计算,在后文~。

逆序数和对换

逆序数(定义):给定n个不同的元素,规定一个标准次序(例如n个不同的自然数,可规定由小到大为标准次序),于是我们认为当某一个元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成了一个逆序。(通俗点讲就是,例如:1324,我们讨论下3:对于"3"前面的"1"来说,1<3,为标准次序,不构成逆序;对于“3”后面的“2”来说,3>2,与标准次序不同,则构成了一个逆序)。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列,逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

对换 (定理):一个排列中的任意两个元素互换,排列改变奇偶性。

推论:奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

证: 由对换定理知:对换的次数就是排列奇偶性的变换次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此该推论成立。

行列式的定义及性质

$$ D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{matrix} \right| $$

记作det($a_{ij}$),其中$a_{ij}$为行列式D的(i,j)元。

性质及其常用计算方法:(按使用的频率排序)

  1. 某行(列)加上或减去另一行(列)的几倍,行列式不变。(经常用于将多阶行列式化为上三角或下三角行列式,便于计算行列式的值);
  2. 行(列)乘以k,等于k乘以此行列式。(这一点与矩阵不同,注意区分开来);
  3. 互换两行(列),行列式变号。$\Rightarrow$ 推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于零;
  4. 行列式与它的转置行列式相等;
  5. 某行某列为两行相加减时,行列式可拆成两个行列式相加减.

$$ \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21}+b_{1} & a_{22}+b_{2} & a_{23}+b_{3}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{matrix} \right| $$

$$ D= \left| \begin{matrix} a_{11}\\ a_{21} & a_{22} & & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{matrix} \right| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$

$$ \left| \begin{matrix} \lambda_{1}\\ &\lambda_{2}\\ && \ddots \\ &&&\lambda_{n}\\ \end{matrix} \right| = \lambda_{1}\lambda_{2}\cdots \lambda_{n} $$

行列式按行(列)展开

余子式:在n阶行列式中,把(i,j)元$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做(i,j)元的$a_{ij}$余子式。记作$M_{ij}$。

代数余子式:$A_{ij}$=$(-1)^{i+j}$*$M_{ij}$,$A_{ij}$叫做(i,j)元$a_{ij}$的代数余子式。

定理:行列式按行列展开法则。

$$ D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\qquad (i = 1,2\cdots n)第i行\\ D = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\qquad (j = 1,2\cdots n)第j列 $$

推论:行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

范德蒙德行列式:

$$ \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\cdots&x_{n}^{n-1}& \end{matrix} \right| = \prod_{n \geq i \geq j \geq 1}^n{(x_{i}-x_{j})} $$

给一方程组,判段其解的情况。
方程组D $\neq$0D=0
齐次只有一组零解有零解与非零解
非齐次只有一组非零解有多个解或无解

矩阵的运算

矩阵的定义

定义:由mxn个数$a_{ij}$ 排成的m行n列的数表(这是矩阵和行列式的本质区之一:行列式是一个数值,且行数必须等于列数;矩阵是一个数表)称为m行n列矩阵,简称mxn矩阵。

$$ \left\{ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{matrix} \right\} $$

元素为实数的矩阵称为实矩阵,元素为负数的矩阵称为复矩阵。

行矩阵(行向量):只有一行的矩阵,称为行矩阵,又称行向量。A = $(a_{1}, a{2}, \cdots ,a_{n})$

列矩阵(列向量):只有一列的矩阵,称为列矩阵,又称列向量。

$$ B = \left\{ \begin{matrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots\\\ b_{n}\\ \end{matrix} \right\} $$

同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵(对应元素可以不相等)。

零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作0.

不同型的零矩阵是不同的。

负矩阵:设矩阵A=$(a_{ij})$,记-A=($-a_{ij}$),-A称为矩阵A的负矩阵,则:A+(-A)=0

对角矩阵(对角阵):从左上角到右下角的直线(叫做对角线)以外的元素都是零。

$$ \Lambda = \left\{ \begin{matrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \\ \end{matrix} \right\} \\ 也记作:\Lambda = diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})\\ $$

单位矩阵(特殊的对角矩阵)特别当$\lambda_{1} = \lambda_{1} = \cdots = \lambda_{n} = 1 $时对应的n阶方阵,叫作n阶单位矩阵,简称:单位阵。特点:对角线上的元素都是1,其它元素均为0。记作符号:E

矩阵的运算(+ - *)

矩阵的加法:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算。
矩阵加法运算满足下面滴运算规律:(A、B、C均为mxn矩阵 )

  1. A + B = B + A;
  2. (A+B)+C = A+(B+C).

矩阵的减法A-B=A+(-B).

数与矩阵相乘:数$\lambda$与矩阵的乘积记为$\lambda A$ 或$A\lambda$ 。(这一点与行列式不同)
数乘矩阵满足下面滴运算规律(A、B为mxn矩阵,$\lambda ,\mu$为数):

  1. $(\lambda\mu )A = \lambda(\mu A)$ ;
  2. $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$;
  3. $\lambda(A+B) =\lambda A+\lambda B$.

矩阵与矩阵相乘:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘。
乘积矩阵C=ABC的(i,j)元$c_{ij}$就是A的第$i$行与B的第$j$列的乘积。该方法也叫作前行乘后列

矩阵的乘法不满足交换律,但满足:
  1. $(AB)C=A(BC)$;
  2. $\lambda (AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B) $ (其中$\lambda$为数);
  3. $,A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA$.

矩阵相乘的特殊情况

  1. $A*0=0,\quad 0*A=0$;
  2. $A*E=E,\quad E*A=A,\quad E^2=E*E=E$;
  3. $A^2+2AE+E^2=(A+E)^2$;
  4. $AB未必等于BA$;
  5. $AX=AY$不能推出$X=Y$;
  6. $(AB)^k与A^kB^k$ 不一定相等.

矩阵的转置:把矩阵$A$的行换成同序数的列得到的一个新矩阵,叫做A的转置矩阵。记作:$A^T$。
例如:

$$ A = \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & -1 & 1\\ \end{matrix} \right| \\ A^T = \left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & -1\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right| $$

矩阵的转置运算满足的规律:

  1. $(A^T)^T=A$;
  2. $(A+B)^T=A^T+B^T$;
  3. $(\lambda A)^T=\lambda A^T$;
  4. $(AB)^T=B^TA^T$.

如果$A^T=A$,$A$为对称矩阵.(经常应用于对称矩阵的证明之中)

方阵的行列式:

方阵与行列式是两个不同的概念:n阶方阵是$n^2$个数按一定方向排成的数表;n阶行列式是这些数(也就是数表A)按一定运算法则确定的一个数。

$|A|$ 运算满足的规律($A,B$为n阶方阵,$\lambda$为数):

  1. $|A^T|=|A| $;
  2. $|\lambda A|=\lambda ^ n|A|$;
  3. $|AB|=|A||B|$.

伴随矩阵(求解逆矩阵时会用到):行列式$|A|$的各个元素代数余子式$A_{ij}$所构成的矩阵。$AA^* = A^*A=|A|E$。

$$ A^* = \left| \begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{matrix} \right| \\ $$

逆矩阵

逆矩阵定义:对于n阶矩阵$A$,如果有一个n阶矩阵$B$,满足$AB=BA=E$,则说A矩阵是可逆的,把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵,简称逆阵。$A$的逆矩阵记作$A^{-1}$。如果A矩阵是可逆的,那么A的逆矩阵是唯一的。

矩阵A有逆矩阵的判断条件条件1必须满足,条件2中两个满足一个即可!

$$ \begin{cases} 1. 矩阵A为方阵(行数与列数相等)\\ 2.\begin{cases} ①|A|\neq 0\\ ②存在一个方阵B,使得AB=E或BA=E\\ \end{cases} \end{cases} $$

求解逆矩阵的方法:$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^*$,$A^*$为A的伴随矩阵。

$|A|=0$,则称为奇异矩阵;否则,称为非奇异矩阵。

逆矩阵满足的运算规律

  1. $A*A^{-1}=E,A^{-1}*A=E$;
  2. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$;
  3. $(A^{-1})^{-1}=A$;
  4. $(\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$;

矩阵的秩

求解矩阵的秩:对矩阵进行行变换,使下行左端的0比上行多,直到下行全为0为止。

克拉默法则

克拉默法则用于求解含有n个未知数$x_1,x_2,\cdots,x_n$的n个线性方程的方程组

克拉默法则用法:如果线性方程组的系数矩阵A的行列式矩阵不等于0,那么方程组有惟一解

$$ x_1=\frac{|A_1|}{|A|},x_2=\frac{|A_2|}{|A|},\cdots,x_n=\frac{|A_n|}{|A|}, $$

其中的$A_j$(j = 1,2,$\cdots$,n)是把系数矩阵A中第j列元素用方程组右端的常数项代替所得的n阶方阵。依次替换求其行列式值,与A的行列式值相比即可。

到这里,前两章的内容基本上是总结完了。后面四章的内容就后续补写吧!

Last modification:May 24th, 2019 at 05:43 pm
有钱的捧个钱场,没带钱的捧个人场。

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