线性代数复习笔记(二)【矩阵的初等变换】

说在前面的话

第三章矩阵的初等变换的大概内容是:①介绍矩阵的初等行变化、初等列变换。通过初等行变化使:矩阵$\stackrel{初等行变换}{\longrightarrow}$行阶梯形矩阵$\stackrel{初等行变换}{\longrightarrow}$行最简形矩阵$\stackrel{初等列变换}{\longrightarrow}$标准型。加上关于初等变换的一些基本性质。②矩阵的秩的概念和一些性质。③通过矩阵的秩和初等行变化,来求解线性方程组的解。

1.矩阵初等变换

1.1初等行变化

  1. 对换两行($r_{i} \leftrightarrow r_{j}$);
  2. 数k(k$\neq$0)乘以某一行的所有元(第$i$行乘以k,即$r_{i}*k$);
  3. 某行的所有元加上另一行的对应的所有元的k倍。(第$j$行的$k$倍加到第$i$行上,即$r_{i}+k*r_{j}$).

1.2初等列变换

  • 将上面的定义的中的”行“换成”列“,就是初等列变换.

1.3初等变换

  • 初等行变化与初等列变换,统称为初等变换.
  • A $\stackrel{有限次初等行变换}{\longrightarrow}$B,则记为A与B等价;
  • A $\stackrel{有限次初等列变换}{\longrightarrow}$B,则记为A与B等价;
  • A $\stackrel{有限次初等变换}{\longrightarrow}$B,则记为A与B等价,记为A ~ B.

矩阵的三种形式:将矩阵转化成下面三种形式,要依赖与初等变换的技巧咯。

  1. 行阶梯型矩阵(不唯一);
  2. 行最简形矩阵(唯一);
  3. 标准型。特点:左上角是一个单位矩阵,其余的全是0.

初等变换的性质:

  1. A(mxn)矩阵,对A施行一次行变换,相当于A的左边乘相应的m阶初等矩阵;对A施行一次列变换,相当于A的右边乘相应的n阶初等矩阵.
  2. 方阵A可逆的充分必要条件是:A~B.考试常考题型

$$ 通过该性质求解A^{-1}:\\ PA=B,PE=P\Leftrightarrow P(A,E)=(B,P)\\ $$

所以$(A,E)$ ~ $(B,P)$。So,当把$A$变为$B$时,$E$就变成了$P$。

$$ 通过该性质求解AX=B:\\ X=A^{-1}B:PA=E,PB=PB\Leftrightarrow P(A,B)=(E,PB)=(E,A^{-1}B)\\ $$

因为$P=A^{-1}$,所以$(A,B)$~$(E,A^{-1}B)$。So,当$A$变为$E$时,$B$就变成了所求的$A^{-1}B$。

上面方法使用的前提是A为可逆矩阵。

2.矩阵的秩

2.1秩的概念

秩:在线性代数中表示向量间是否线性相关,就是组成矩阵各向量之间的最大线性无关数。
例:

  • 有一个有5个向量组成的方阵,如果这5个向量中最多有3个向量互不相关,就说这个矩阵的秩为3;如果这5个向量中最多有4个向量互不相关,就说这个矩阵的秩为4;如果这5个向量中5个向量都互不相关,就说这个矩阵满秩。满秩,就是组成矩阵的所有向量都线性无关。
  • 先说解决数学本身的一个实用问题。要解一个方阵组成的线性代数方程,如果矩阵满秩,方程才有唯一解。即:线性代数方程组有唯一解的条件是:矩阵满秩。否则,方程就无解。
  • 现代控制理论中的一个实用问题。线性系统有一个矩阵,叫能控性矩阵。如果这个矩阵是满秩的,系统的状态就完全能控制;如果不满秩,系统的状态就不完全能控制。

上面的例子意思是:矩阵要满秩,问题才有解;如果不满秩,问题就解决不了。



上面转载的这篇文章中:我觉得举的例子尤为有趣性,特别喜欢,截取下来给予自己已思考吧(实名羡慕这样的趣味而又有知识性的表述)。把高深的概念用通俗的话语、贴近现实生活的例子讲出来,确实是高呀!

首先来想一个问题,最初的那个人为什么为什么要叫他为“秩”,为什么不叫“猪”“牛”“马”?

举个例子就很容易理解,大家排队买票。如果大家互相不认识,那就会一个排一个,非常有秩序。然而,如果突然来了一个与队伍前面的人认识的人,这个人又不自觉,非要插队。那后面的人肯定要有意见了,说你要是这样我前面还有认识的人呢,你插我也插,这样整个队伍就乱掉了,谁也买不成。

通过这个例子,可得以下结论:彼此不认识,那就不相关,就有秩序,问题就好解决;反之,彼此相关,就没有秩序,问题就不好解决。

所以,数学家们定义,矩阵中的最大的不相关的向量的个数,就叫秩,可以理解为有秩序的程度。

从社会学的角度在考虑一下,政府机关是讲人际关系的地方,可谓是关系错综复杂,通常都是近亲繁殖。显然,这些部门,用矩阵来说,就不满秩,秩非常小。可以想象这些地方的工作肯定是搞不好的,因为没有秩序。所以想找个好单位,满秩可以作为一项评价指标哦~

2.2矩阵的性质

  • $A$的秩$R(A)$就是$A$的非零子式的最高阶数。规定:0矩阵的秩为0.
  • n阶矩阵$A$,$|A|\neq$0时$R(A)=n$;$|A|=0$时,$R(A)<n$.(可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。可逆矩阵称为满秩矩阵,不可逆矩阵称为降秩矩阵

列举一些矩阵的基本性质:

  1. $0\leq R(A_{m*n})\leq min\{m,n \}$.
  2. $R(A^T)=R(A)$.
  3. 若$A$~$B$,则$R(A)=R(B)$.
  4. 若$P$、$Q$可逆,则$R(PAQ)=R(A)$.
  5. $max\{ R(A),R(B)\} \leq R(A,B)\leq R(A)+R(B)$.特殊情况:当$B=b$为非零列向量时,$R(A)\leq R(A,b)\leq R(A)+1$.
  6. $R(A+B)\leq R(A)+R(B)$.
  7. $R(AB)\leq min\{R(A),R(B)\}$.
  8. 若$A_{m*n}B_{n*l}=0$,则$R(A)+R(B)\leq n$.

3.线性方程组的解

上面的导图是有关线性方程组的一些常见问题,应该是期末考试的常考题型吧!记录一下,免于后期遗忘。

3.1判断线性方程组解的情况

其实挺简单的,线性方程组的解主要是与有关。求解系数矩阵的秩$R(A)$、增广矩阵的秩$R(A|b)$,然后查表(在导图中)即可。

3.2解方程组(5步)

  1. 若为齐次方程组,求$R(A)$;若为非齐次方程组,求$R(A)与R(A|b)$,判断是否有解;
  2. 将增广矩阵变换为行最简型矩阵;
  3. 将②步的矩阵变回方程组;
  4. 设n个未知数$k_1,k_2,\cdots ,k_n$(n为未知数个数$-$R)
  5. 将方程组整理为标准形式,再用$k_1,k_2,\cdots ,k_n$依次替代倒数第一,第二,$\cdots$,第n个未知数。

例题㈠:求解齐次线性方程组的解。

$$ \begin{cases} x_1+2x_2+x_3-x_4=0,\\ 3x_1+6x_2-x_3-3_4=0,\\ 5x_1+10x_2+x_3-5x_4=0. \end{cases} $$

解:
①:求解增广矩阵的秩$R(A|b)$;

$$ R(A|B)= \left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 0\\ 3 & 6 & -1 & -3 & 0\\ 5 & 10 & -1 & -5 & 0\\ \end{matrix} \right\} \stackrel{r_2-3r_1\\r3-5r_1\\r3-r_2\\r2/(-4)}\longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right\} $$

②:变换为行最简型矩阵如上;
③:将矩阵代回方程组;

$$ \begin{cases} x_1+2x_2+-x_4=0\\ x_3=0 \end{cases} $$

④:设未知数。n = 4-R=2.设$x_4=k_1,x_2=k_2$;
⑤:将方程组转换为标准形式。

$$ \begin{cases} x_1+2x_2+-x_4=0\\ x_3=0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} x_1=-2k_2+k_1\\ x_2=k_2\\ x_3=0\\ x_4=k_1 \end{cases} $$

所以:

$$ \left\{ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{matrix} \right\} =k_1 \left\{ \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right\} + k_2\left\{ \begin{matrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right\} (c_1,c_2\in R) $$

同理:求解非齐次线性方程组与上面过程基本类似,主要是判断解的情况时,需要多求解系数矩阵的秩。仅此而已啦。

3.3求方程组的通解、一个特解、基础解系

  • 通解即3.2所求;
  • 特解则令k为实际的数即可;
  • 基础解系

$$ \alpha_1 = k_1 \left\{ \begin{matrix} 1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right\} \quad \alpha_2=k_2\left\{ \begin{matrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right\} $$

$\alpha_1,\alpha_2$即为一组基础解系。

3.4+3.5已知某方程组的多个特解,求某齐次(或非齐次)方程组的通解

文字叙述方法挺简单,不过不容易理解,还是通过视频讲解比较清楚一点。下面放个猴博士的资源哈~
可直接跳转到线性代数6的14min25s进行Study.

3.6判断解集合中线性无关的解的向量个数

  • 齐次方程:未知数个数(矩阵列数)-秩
  • 非齐次方程:未知数个数-秩+1
Last modification:May 28th, 2019 at 06:07 pm
有钱的捧个钱场,没带钱的捧个人场。

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